Mathématiques 3ème Année Collège - Puissances

🔢 Mathématiques – 3ᵉ Année Collège : Les puissances

En mathématiques, les puissances permettent d'écrire de manière plus simple et plus courte certains produits. C’est un outil très utile pour manipuler de grands nombres ou des expressions algébriques.

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🔹 1. Qu’est-ce qu’une puissance ?

Une puissance est une façon abrégée d’écrire une multiplication répétée du même nombre.

Par exemple :

$$5 \times 5 \times 5 = 5^3$$

On lit cela : "5 à la puissance 3" ou "5 exposant 3".

• 5 est la base

• 3 est l’exposant

• $5^3 = 125$

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🔹 2. Notation générale

Une puissance s’écrit sous la forme :

$$a^n$$

• $a$ est la base

• $n$ est l’exposant

• Cela signifie : multiplier $a$ par lui-même $n$ fois

Exemples :

• $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$

• $3^2 = 3 \times 3 = 9$

• $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$

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🔹 3. Cas particuliers

➤ Puissance 1 :

$$a^1 = a$$

Exemple : $7^1 = 7$

➤ Puissance 0 :

$$a^0 = 1 \quad \text{(pour tout } a \neq 0\text{)}$$

Exemple : $4^0 = 1$, $100^0 = 1$

➤ Puissances de 10 :

Très utiles pour écrire de grands nombres.

• $10^1 = 10$

• $10^2 = 100$

• $10^3 = 1000$

• $10^6 = 1\,000\,000$

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🔹 4. Règles de calcul avec les puissances

Ces règles permettent de simplifier les calculs :

1) Produit de puissances de même base :

$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$

Exemple :
$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

2) Quotient de puissances de même base :

$$a^m \div a^n = a^{m-n} \quad \text{(si } a \neq 0\text{)}$$

Exemple :
$5^6 \div 5^2 = 5^{6-2} = 5^4 = 625$

3) Puissance d’une puissance :

$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$

Exemple :
$(3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 = 6561$

4) Produit de puissances de bases différentes mais même exposant :

$$a^n \times b^n = (a \times b)^n$$

Exemple :
$2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1000$

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🔹 5. Puissances négatives (à connaître progressivement)

Pour les élèves avancés ou curieux :

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{(si } a \neq 0\text{)}$$

Exemple :
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

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🔹 6. Exercices types pour s'entraîner

Exercice 1 : Écris sous forme de puissance

• $3 \times 3 \times 3 \times 3$ → $\boxed{3^4}$

Exercice 2 : Calcule

• $2^5 = \boxed{32}$

• $10^4 = \boxed{10000}$

Exercice 3 : Applique les règles

• $4^3 \times 4^2 = \boxed{4^5 = 1024}$

• $(2^2)^3 = \boxed{2^6 = 64}$

• $5^7 \div 5^4 = \boxed{5^3 = 125}$

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✅ Conclusion

Les puissances permettent de simplifier l’écriture des grands produits et facilitent les calculs. En maîtrisant les règles de calcul des puissances, tu pourras résoudre de nombreux exercices plus facilement en algèbre, en sciences et dans la vie de tous les jours (notamment pour exprimer des distances, des vitesses ou des données informatiques).

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