Mathématiques 3ème Année Collège - Racines carrées

🧮 Mathématiques – 3ᵉ Année Collège : Les racines carrées

La notion de racine carrée est fondamentale en mathématiques. Elle permet de résoudre des équations, de calculer des longueurs dans les triangles, et d’exprimer certaines quantités d’une manière plus précise.

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🔹 1. Qu’est-ce qu’une racine carrée ?

La racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne ce nombre.

Par exemple :

$$\sqrt{25} = 5 \quad \text{car } 5 \times 5 = 25$$

On lit ce symbole √ : « racine carrée de ».

Autres exemples :

• $\sqrt{36} = 6$

• $\sqrt{49} = 7$

• $\sqrt{81} = 9$

✅ Attention : La racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie dans les mathématiques de collège.
Exemple : $\sqrt{-4}$ n’a pas de solution réelle.

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🔹 2. Racines carrées parfaites

Un carré parfait est un nombre qui est le carré d’un entier naturel.

Nombre carré	Racine carrée
1	$\sqrt{1} = 1$
4	$\sqrt{4} = 2$
9	$\sqrt{9} = 3$
16	$\sqrt{16} = 4$
25	$\sqrt{25} = 5$
36	$\sqrt{36} = 6$
49	$\sqrt{49} = 7$
64	$\sqrt{64} = 8$
81	$\sqrt{81} = 9$
100	$\sqrt{100} = 10$

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🔹 3. Racines carrées approchées

Tous les nombres n’ont pas une racine carrée exacte. Par exemple :

• $\sqrt{2} \approx 1{,}41$

• $\sqrt{3} \approx 1{,}73$

• $\sqrt{5} \approx 2{,}24$

Ces nombres sont appelés irrationnels : ils ont une infinité de chiffres après la virgule sans jamais se répéter.

Pour faire des calculs ou mesurer, on utilise des valeurs approchées (avec la calculatrice ou par estimation).

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🔹 4. Propriétés importantes

Voici quelques propriétés utiles des racines carrées :

1. Racine du produit :

$$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$$

Exemple :

$$\sqrt{9 \times 4} = \sqrt{36} = 6 = \sqrt{9} \times \sqrt{4} = 3 \times 2$$

2. Racine du quotient :

$$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad \text{(si } b \neq 0\text{)}$$

Exemple :

$$\sqrt{\dfrac{49}{4}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}} = \dfrac{7}{2}$$

3. Carré d’une racine :

$$(\sqrt{a})^2 = a$$

Exemple :

$$(\sqrt{5})^2 = 5$$

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🔹 5. Application géométrique : le théorème de Pythagore

La racine carrée est très utile pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle :

$$c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Exemple :

Si un triangle rectangle a des côtés de 3 cm et 4 cm, l’hypoténuse vaut :

$$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$

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🧠 Exercices types pour s'entraîner

1. Calcule les racines carrées exactes :

   • $\sqrt{64} = \boxed{8}$

   • $\sqrt{121} = \boxed{11}$

2. Estime les racines suivantes (à l’aide d’une calculatrice) :

   • $\sqrt{2} \approx \boxed{1{,}41}$

   • $\sqrt{10} \approx \boxed{3{,}16}$

3. Calcule :

   • $(\sqrt{7})^2 = \boxed{7}$

   • $\sqrt{9 \times 25} = \boxed{15}$

4. Utilise Pythagore pour trouver l’hypoténuse d’un triangle rectangle avec des côtés de 5 cm et 12 cm.

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✅ Conclusion

Les racines carrées sont une nouvelle étape dans ton apprentissage des mathématiques. Elles te permettent de mieux comprendre les liens entre les nombres, d’approfondir les notions de carrés parfaits, et d’aborder la géométrie et les équations avec des outils plus puissants.

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