Mathématiques 3ème Année Collège - Développement et factorisation

📘 Développement et factorisation – Mathématiques 3ᵉ année collège

En mathématiques, deux notions très importantes sont le développement et la factorisation. Ces deux opérations sont inverses l’une de l’autre : développer, c’est enlever les parenthèses d’une expression ; factoriser, c’est au contraire mettre des parenthèses en mettant en évidence un facteur commun.

Comprendre ces notions est essentiel car elles sont utilisées en algèbre, en résolution d’équations, et plus tard dans les fonctions et calculs plus avancés.

---

🔹 1. Le développement

Développer une expression, c’est utiliser la distributivité pour enlever les parenthèses et simplifier l’expression algébrique.

➤ Rappel de la distributivité :

Soit $a(b + c)$, alors :

$$a(b + c) = ab + ac$$

➤ Exemples de développement :

• $3(x + 4) = 3x + 12$

• $2(x - 5) = 2x - 10$

• $-4(2x + 3) = -8x - 12$

Tu dois multiplier chaque terme à l’intérieur des parenthèses par le nombre (ou la lettre) à l’extérieur.

---

🔹 2. Développement double (produit de deux binômes)

Parfois, on rencontre des expressions comme :

$$(x + 2)(x + 5)$$

Dans ce cas, on utilise la double distributivité :

$$(x + 2)(x + 5) = x(x + 5) + 2(x + 5) = x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10$$

Autres exemples :

• $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$ → c’est une identité remarquable : $a^2 - b^2$

• $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$

---

🔹 3. La factorisation

Factoriser, c’est l’opération inverse du développement. On cherche un facteur commun entre les termes pour remettre l'expression sous forme d’un produit.

➤ Exemple simple :

$$3x + 12 = 3(x + 4)$$

On a mis en évidence le facteur 3, commun aux deux termes.

➤ Étapes de factorisation :

1. Identifier le facteur commun

2. Le mettre devant une parenthèse

3. Compléter la parenthèse pour que le développement donne bien l’expression de départ

➤ Autres exemples :

• $5x + 15 = 5(x + 3)$

• $2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$

• $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ → identité remarquable

• $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ → carré parfait

---

🔹 4. Identités remarquables à connaître

Voici trois formules très importantes :

1. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

2. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

3. $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Ces formules te permettent de factoriser rapidement des expressions ou de développer sans tout refaire.

---

🔹 5. Pourquoi c’est important ?

• Pour simplifier des calculs

• Pour résoudre des équations facilement

• Pour étudier des fonctions plus tard (forme factorisée, forme développée)

• Pour préparer le lycée et les maths avancées

---

🎯 Exercices types

1. Développe : $4(x - 2)$

2. Développe : $(x + 1)(x - 3)$

3. Factorise : $6x + 18$

4. Factorise : $x^2 - 16$

5. Développe puis factorise : $2(x + 5) + 3(x + 5)$

---

✅ Conclusion

Le développement et la factorisation sont des outils indispensables en algèbre. Ils permettent de manipuler les expressions plus facilement et sont très utiles dans toutes les branches des mathématiques. Plus tu t’exerces, plus cela devient automatique !

---