Arctan

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📐 Comprendre la fonction Arctan (Arc Tangente) – Définition, propriétés et applications

Dans le monde des mathématiques, particulièrement en analyse et en trigonométrie, la fonction Arctan (ou arc tangente) est une fonction très utile. Elle est l’une des fonctions trigonométriques inverses, et permet de retrouver un angle à partir d’un rapport trigonométrique.

Dans cet article, nous allons voir en détail ce qu’est la fonction Arctan, ses propriétés, son graphique, ainsi que ses applications concrètes, aussi bien en mathématiques qu’en informatique.

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🔹 Définition de la fonction Arctan

La fonction Arctan (notée aussi atan(x) ou tan⁻¹(x)) est la fonction réciproque de la tangente.

Autrement dit :

Si y = tan(x), alors x = arctan(y)

Cela signifie que Arctan(y) donne l’angle dont la tangente est y.

Par exemple :

• arctan(1) = π/4 (car tan(π/4) = 1)

• arctan(0) = 0 (car tan(0) = 0)

• arctan(√3) = π/3

⚠️ Attention : la tangente est une fonction périodique et non injective (elle a plusieurs antécédents possibles pour une même valeur). Pour qu’elle soit inversible, on restreint son domaine.

👉 Ainsi, l’Arctan est définie comme l’inverse de tan(x) sur l’intervalle ]−π/2 ; π/2[.

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🔹 Domaine et image de Arctan

• Domaine (valeurs que l’on peut donner à arctan) : ℝ (l’ensemble des réels)

• Image (valeurs que arctan peut prendre) : ]−π/2 ; π/2[

Cela signifie que pour n’importe quel nombre réel x, arctan(x) donne un angle entre −π/2 et π/2 radians (soit entre −90° et +90°).

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🔹 Représentation graphique de Arctan(x)

Voici les propriétés importantes du graphique de la fonction arctan :

• Croissante sur ℝ

• Asymptotes horizontales :

  • lim(x→−∞) arctan(x) = −π/2

  • lim(x→+∞) arctan(x) = +π/2

• Symétrie impaire : arctan(−x) = −arctan(x)

Le graphique est une courbe en S lissée qui s’approche de ±π/2 sans jamais les atteindre.

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🔹 Dérivée et intégrale

1. Dérivée de arctan(x) :

   $$\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2}$$

   Cette expression est très utile en analyse et en calcul différentiel.

2. Intégrale de arctan(x) :

   $$\int \arctan(x)\, dx = x \cdot \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C$$

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🔹 Applications de la fonction Arctan

✅ En trigonométrie

Arctan est utilisée pour calculer un angle à partir d’un triangle rectangle quand on connaît les longueurs des côtés :

Si on connaît le côté opposé et le côté adjacent, on peut faire :

$$\theta = \arctan\left(\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\right)$$

✅ En informatique et en physique

• Pour calculer des angles entre vecteurs en 2D ou 3D

• Dans la programmation graphique (par exemple, pour faire pivoter un objet)

• En robotique et en géométrie analytique

✅ En traitement du signal

La fonction arctan intervient aussi dans les filtres numériques, les modulations de phase, et la reconstruction d’angles de phase.

✅ En machine learning

Elle peut être utilisée comme fonction d'activation, ou dans certaines transformations de variables.

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🔹 Utilisation dans les langages de programmation

Voici comment utiliser arctan dans différents langages :

import math
angle = math.atan(1)  # renvoie 0.785... (π/4)

let angle = Math.atan(1); // 0.785...

double angle = Math.Atan(1); // 0.785...

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✅ Conclusion

La fonction Arctan (ou arc tangente) est une fonction inverse essentielle en mathématiques, utilisée pour retrouver des angles à partir de rapports trigonométriques. Elle est présente dans de nombreux domaines : géométrie, physique, informatique, calcul scientifique...

Comprendre comment elle fonctionne et comment l’utiliser permet de mieux maîtriser les outils mathématiques fondamentaux du quotidien numérique.

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